対角線が通るマスはいくつ？

条件たて4マス・よこ6マスの長方形に、対角線を1本ひいた

ヒント

1. 1つずつ塗って数えるのは大変です。かわりに「マスが変わるのはいつか」を考えます。対角線が次のマスへ移るのは、方眼の線をまたいだときだけです。
2. またぐ線は、内側にあるものだけ。たての線は 6 − 1 ＝ 5本、よこの線は 4 − 1 ＝ 3本。合わせて 8本です。
3. 最初の1マスから始めて、線をまたぐたびに1マスずつ増える。だから 1 ＋ 8 ＝ 9個……と言いたいところですが、ここに落とし穴があります。
4. 赤い点のところを見てください。ここで対角線は方眼のかどをちょうど通っています。たての線とよこの線を同時にまたいでいるのに、入るマスは1つだけ。つまり1回ぶん数えすぎです。この長方形では 1か所あります。
5. だから 9 − 1 ＝ 8個。式を整理すると よこ ＋ たて − (よことたての最大公約数)。塗ってみると、たしかに8マスです。

答え 8個

「またいだ回数」で数えると速い。ただし、かどをちょうど通るところだけは2本を1回で越えてしまうので、そのぶんを引きます。