2面に色がつくのは何個？

条件1辺1cmの立方体64個で1辺4cmの立方体を作り、外に見える面すべてに色をぬる

ヒント

1. 64個を1つずつ数えるのは大変です。色のつき方でなかま分けして考えましょう。立方体のどこにあるかで、外を向く面の数が決まります。
2. まず角にある立方体。8か所あって、どれも3つの面が外を向いています（3面）。
3. 次に面のまん中。外を向くのは1つの面だけです（1面）。面は6つあり、1つの面に (4 − 2) × (4 − 2) ＝ 4個ずつ。
4. 残ったのが辺の上にならんでいる立方体。ここが「2面」のなかまです。
5. 1本の辺には立方体が4個ならんでいます。ただし両はしは角なので3面。残るまん中の 4 − 2 ＝ 2個が2面です。
6. 立方体の辺は全部で12本。1本につき2個ずつなので 12 × 2 ＝ 24個。
7. たしかめ算です。3面が8個、2面が24個、1面が24個、内側にかくれて色がつかないのが8個。全部で64個。ぴったり合いました。今回きかれているのは「2面」＝辺の上（角をのぞく）の立方体です。

答え 24個

N×N×N なら、3面はいつも8個、2面は 12×(N−2)、1面は 6×(N−2)²、0面は (N−2)³。合計するとちょうど N³ になります。