囲める面積が、いちばん大きいときは？

条件長さ20m のロープで、長方形の囲いを作る。たて・よこは整数のメートル

ヒント

1. まわりの長さは「(たて ＋ よこ) × 2」。だから たて ＋ よこ ＝ 20 ÷ 2 ＝ 10m。形をどう変えても、この合計だけは変わりません。ここが出発点です。
2. 合計が10になる組を、ぜんぶ書き出します。1と9、2と8、3と7、4と6、5と5。左下をそろえて重ねてみました。
3. 気づきましたか。右上のかどが、きれいに一直線にならびます。たてが1増えれば、よこは1減る。合計が変わらないので、当然そうなります。
4. 面積を出してならべると 9、16、21、24、25。細長いほど小さく、正方形に近づくほど大きくなります。まわりが同じでも、面積は9から25まで、こんなに変わります。
5. いちばん広いのは 5m × 5m の正方形で 25m²。「和が決まっているとき、積は2つが等しいところで最大になる」。面積の問題でも、数の問題でも、同じ形で何度も出てきます。
6. 最後にもうひとつ。「長方形で」という決まりを外したら、どうでしょう。同じ20mのロープで円を作ると、面積は約 31.8m²。正方形よりさらに広くなります。まわりが同じなら、円がいちばん広い——これが、この100問の最後の一手です。

答え 25m²

まわりの長さが同じでも、面積はまったくちがう。「和が一定なら、2つが等しいとき積が最大」は、囲いでも畑でも箱でも、同じ形で顔を出します。