ア＋イ＋ウ＋エ＋オ は？
ヒント
- 5つのトゲの角に、1つずつちがう色をつけました。この5つを全部たすといくつになるかを考えます。星の形は何でもかまいません。細長くゆがんだ星でも、これから話すことは全部そのまま当てはまります。
- まず、星の内側にできている五角形だけを見ます。星の線をうすくして、この五角形だけを残しました。これが話のいちばんの土台になります。
- つぎにトゲの5つの三角形だけを残します。五角形の各辺の外がわに1つずつ、三角形がくっついている形です。三角形の内角の和は180°なので、5つで 5 × 180 ＝ 900°。
- この900°の中身を分けます。色つきのトゲ5つ（求めたいもの）と、橙色の底の角10個です。ということは、900°から底の角10個を引けば、トゲの合計が出る。あとは底の角が何度かだけ。
- 星を消して、いま話している場面だけを大きく描き直しました。青が内側の五角形、橙がトゲの三角形です。太い横線に注目してください。トゲの先ア・五角形の頂点・となりの頂点の3つは、同じ1本の直線の上にならんでいます。星の辺がまっすぐだからです。そして、その直線の下がわは 五角形の内角（青）と、三角形の底の角（橙）の2つだけで、すきまなく埋まっています。一直線は180°なので、内角 ＋ 底の角 ＝ 180°。
- つまり底の角は、五角形の外角そのもの（内角と足して180°になる角）です。もう一度五角形だけに戻して、10個の底の角を全部ぬりました。1つの頂点に2つずつ、左右の三角形から集まっています。
- ここで使うのが「多角形の外角の和は、何角形でも、形がどうゆがんでいても、いつも360°」という決まりです（まわりを1周すると向きがちょうど1回転するから）。外角が2つずつなので、底の角10個の合計は 360 × 2 ＝ 720°。
- 星をもとに戻します。900°から底の角の720°を引くと、残るのがトゲ5つの合計。900 − 720 ＝ 180° これが答えです。途中で「正五角形だから」とは一度も使っていません。使ったのは三角形の内角の和と、外角の和だけ。だからどんな星でも180°になります。
- 最後に目でもたしかめます。合計が180°なら、5つのトゲを切り取って1点に集めたとき、すきまも重なりもなく、ちょうど半回転＝まっすぐな1本の線になるはず。実際そうなりました。これは証明ではなく、答えの確かめです。証明は1つ前の引き算のほうです。
答え 180度
この説明のどこにも「正五角形だから」は出てきません。使ったのは「三角形の内角の和は180°」と「多角形の外角の和は360°」の2つだけ。だからトゲをどれだけゆがめても、合計は必ず180°です。