ア＋イ＋ウ は何cm？

条件正三角形の高さは 15cm。P はこの三角形の中のどこかの点

ヒント

1. P から3つの頂点に線をひきます。すると正三角形が、3つの小さな三角形に分かれます。
2. 青い三角形PBC だけを見ます。底辺は BC、高さはちょうど ア。だから面積は BC × ア ÷ 2 です。
3. ほかの2つも同じです。しかも正三角形なので3辺の長さはどれも同じ。つまり3つの三角形は、底辺がすべて同じ長さで、高さだけがちがいます。
4. 3つをたすと、辺 ×（ア＋イ＋ウ）÷ 2。これが正三角形ぜんぶの面積です。
5. ところが同じ面積は、ふつうに「底辺 × 高さ ÷ 2」でも出せます。底辺は同じ辺、高さは15cm。だから 辺 × 15 ÷ 2。
6. 2つの式は同じ面積を表しています。両方とも「辺 × □ ÷ 2」の形なので、□どうしが等しい。つまり ア＋イ＋ウ ＝ 15cm。
7. いまの説明のどこにも「Pがここにある」は使っていません。だからPを三角形の中のどこに動かしても、3つの長さの合計は15cmのままです。

答え 15cm

同じ面積を「3つに分けて数える」と「まとめて数える」の2通りで表す。すると、点の位置に関係なく合計が決まってしまいます。