もとの形にぴったり重なるのは、何度回したとき？

ふつうレベルの「角度」の問題です。回して重なる角は「1周 ÷ かどの数」。折って重なる線（対称の軸）とは別の見方で、どちらも正多角形の性質を測るものさしです。

条件正5角形を、中心のまわりに回していく

ヒント

まず「重なる」とはどういうことかを、はっきりさせます。少しだけ回した青い形を重ねてみました。かどの位置がずれていて、もとの形とは重なりません。
重なるためには、どの頂点も、どれかの頂点の位置にぴったり来る必要があります。いちばん小さく回すなら、頂点Aをとなりの頂点Bの位置まで動かしたときです。
その角の大きさは、中心から見ればすぐ出ます。頂点は5個が等しい間かくで並んでいるので、1周360°を5で割って 360 ÷ 5 ＝ 72°。
たしかめます。72°回すと、A は B の位置へ、B は C の位置へ……と全部の頂点が1つずつずれて、赤い形がもとの形にぴったり重なりました。
いちばん小さいのは 72°。そのあとも 72°、144°、216°、288°、360° と、72°おきに重なります。正n角形なら 360 ÷ n。正三角形なら120°、正方形なら90°。かどが増えるほど小さくなり、円はどんな角度でも重なります。

答え 72度