対角線は全部で何本ひける？

条件10角形（かどが10個）

ヒント

1. いきなり全部を数えると必ずもれます。まず頂点Aひとつだけを見て、そこから何本ひけるかを数えます。
2. Aから、ほかの9個の頂点すべてに線をひいてみました。ただし、この中には対角線でないものが混ざっています。
3. となりの2つへの線は、多角形の「辺」であって対角線ではありません。自分自身もふくめて3つを除くので、Aから出る対角線は 10 − 3 ＝ 7本。
4. 同じことがどの頂点でも起こります。頂点は10個あるので、10 × 7 ＝ 70本……と言いたいところですが、この数え方には落とし穴があります。
5. 太くした1本を見てください。これは「Aから出る7本」にも、「Fから出る7本」にも入っています。どの対角線も、両はしから1回ずつ、2回数えられているのです。
6. だから2で割ります。10 × 7 ÷ 2 ＝ 35本。かどの数が変わっても、この式はそのまま使えます。

答え 35本

「1つの頂点から数えて、頂点の数だけかけて、2で割る」。2で割るのは、どの線も両はしから2回数えているからです。